הוכחה: זווית של 45 מעלות (קיץ 2021 מועד ב, סעיף א)טריגונומטריה 571 · שיעור 36

קיץ 2021 מועד ב׳, שאלה 5 · סעיף א

שיעור 35 – הוכחה: זווית של 45 מעלות (קיץ 2021 מועד ב, סעיף א)

פרק 5 – מה שואלים ב־571: סעיפי א מבגרויות 571

1נוסח השאלה

2סעיף א – הוכחה ש־∢KCE = 45

📄 נוסח השאלה

במלבן ABCD הצלעות AB ו־AD משיקות למעגל שרדיוסו R בנקודות E ו־K בהתאמה. הקודקוד C נמצא על המעגל (ראו ציור).

סרטוט שאלה 5: המלבן ABCD והמעגל המשיק לצלעות AB ו־AD

א. הוכיחו: ∢KCE = 45.

סעיף א – הוכחה ש־∢KCE = 45

נסמן ב־O את מרכז המעגל. רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה:

📐 משפט: משיק ורדיוס

∢OEA = 90

📐 משפט: משיק ורדיוס

∢OKA = 90

∢KAE = 90

📐 תכונה: מלבן

במרובע AEOK שלוש זוויות ישרות, ולכן גם הרביעית:

📐 משפט: סכום זוויות במרובע

∢KOE = 360 − ∢OEA − ∢OKA − ∢KAE

📐 משפט: סכום זוויות במרובע

📐 משפט: משיק ורדיוס

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

📐 משפט: משיק ורדיוס

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

📐 תכונה: מלבן

כל זוויות המלבן ישרות

📐 משפט: סכום זוויות במרובע

∢1 + ∢2 + ∢3 + ∢4 = 360

📐 משפט: סכום זוויות במרובע

∢1 + ∢2 + ∢3 + ∢4 = 360

סעיף א – הוכחה ש־∢KCE = 45 · המשך

∢KOE = 360 − ∢OEA − ∢OKA − ∢KAE

📐 משפט: סכום זוויות במרובע

נציב את שלוש הזוויות הישרות, כל אחת 90:

∢KOE = 360 − 3 · 90 = 90

∢KCE היא זווית היקפית הנשענת על אותה קשת KE שעליה נשענת הזווית המרכזית ∢KOE:

📐 משפט: זווית היקפית וזווית מרכזית

∢KCE = 12 · ∢KOE

📐 משפט: זווית היקפית וזווית מרכזית

נציב ∢KOE = 90:

📐 משפט: סכום זוויות במרובע

∢1 + ∢2 + ∢3 + ∢4 = 360

📐 משפט: זווית היקפית וזווית מרכזית

זווית היקפית = חצי הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת

📐 משפט: זווית היקפית וזווית מרכזית

זווית היקפית = חצי הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת

סעיף א – הוכחה ש־∢KCE = 45 · המשך

נציב ∢KOE = 90:

∢KCE = 12 · 90 = 45

✅ פתרון סופי: הוכחה – ∢KCE = 45

📌 סיכום התשובות

הוכחה

ב (1)

45 , 90 − x , 45 + x

ב (2)

√2 R , 2R cos x , 2R sin(45 + x)

cos 2x

x = 22.5

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא